A prova de matemática que segue a prova escrita é a prova com mais conteúdo específico do concurso da École Polytechnique e que costuma ser deixado de lado na maioria das universidades brasileiras de engenharia. Por isso exige um estudo mais direcionado e é considerada a mais desafiadora pela maior parte dos candidatos.
Em que consiste a prova e quais as estratégias para cada parte?
É na prova oral de matemática que acontece o primeiro contato pessoal com a X: tanto o entrevistador da prova de matemática como o da prova de física são professores da escola e especialistas na área da prova.
A prova é dividida em duas partes e consiste basicamente em resolver dois problemas, que aparentemente são escolhidos no mesmo dia pelo entrevistador (a minha prova estava escrita à mão, por exemplo). Desse jeito cada candidato acaba resolvendo problemas diferentes na prova oral e a dificuldade da prova pode variar e a sua nota depende muito de como você lida com o problema, seja ele fácil ou difícil. Especulamos também que a dificuldade dos problemas dependa de o curso que você faz no Brasil envolver matemática mais ou menos avançada.
Na primeira parte, o professor vai te entregar os problemas e você vai ter 30 minutos para pensar neles. É um bom momento para descobrir as partes mais fáceis de cada problema e pensar nas ideias que podem ajudar na resolução do problema como um todo: as técnicas principais, algum teorema que você ache que pode ser usado entre outros.
É na prova oral de matemática que acontece o primeiro contato pessoal com a X: tanto o entrevistador da prova de matemática como o da prova de física são professores da escola e especialistas na área da prova.
A prova é dividida em duas partes e consiste basicamente em resolver dois problemas, que aparentemente são escolhidos no mesmo dia pelo entrevistador (a minha prova estava escrita à mão, por exemplo). Desse jeito cada candidato acaba resolvendo problemas diferentes na prova oral e a dificuldade da prova pode variar e a sua nota depende muito de como você lida com o problema, seja ele fácil ou difícil. Especulamos também que a dificuldade dos problemas dependa de o curso que você faz no Brasil envolver matemática mais ou menos avançada.
Na primeira parte, o professor vai te entregar os problemas e você vai ter 30 minutos para pensar neles. É um bom momento para descobrir as partes mais fáceis de cada problema e pensar nas ideias que podem ajudar na resolução do problema como um todo: as técnicas principais, algum teorema que você ache que pode ser usado entre outros.
 | Na segunda, você deve terminar de resolver os dois problemas a partir dos avanços que você teve na parte anterior e com ajuda do entrevistador. São 45 minutos para expor o máximo de ideias e ouvir as do entrevistador. Como os problemas são longos e difíceis, não há muito espaço para ideias que não funcionem, então é importante perguntar para o entrevistador se a sua ideia é boa e para que você não fique o tempo todo tentando uma só ideia que não funciona. Melhor do que ficar travado durante o problema é pedir dicas e torcer para o professor te ajudar. |
Lembre-se: o entrevistador está lá para te ajudar e quer saber se você consegue ter várias ideias e conhece as principais técnicas para resolver o problema. Desse modo, ele só poderá te avaliar por completo se você tiver sido exposto às diversas partes do problema inteiro
Uma parte importante da prova de matemática é o depois dela. É normal sair dela achando que você foi tão mal que não tem mais chances de ser aprovado. De fato, terminar de resolver os dois problemas com a ajuda dos professores é o objetivo de todos os candidatos, mas certamente não é condição necessária para ser aprovado. Por isso é importante ir para a prova de física com a mesma disposição que você estava antes de começar o dia de provas.
O que estudar?
O tema das questões não costuma variar muito e quase sempre envolve análise real e álgebra linear. Por isso é importante dominar muito bem os fundamentos dessas áreas. Não raramente, caem problemas de equações diferenciais ordinárias/parciais, cálculo vetorial e de mais de uma variável e por isso essas matérias não devem ser negligenciadas na sua preparação.
Os temas de análise real vão desde a definição formal de limite usando épsilons e deltas até o cálculo de integrais, passando por séries e sequências, continuidade, diferenciabilidade, expansões de Taylor, regras de cálculo de derivadas, a definição formal de integral de Riemann e o estudo da convergência de sequências e séries de funções. Diferentemente do que se vê na maioria dos cursos de cálculo do Brasil, é importante ser bastante criterioso ao usar os teoremas e conhecer precisamente as principais definições. Teoremas que aplicamos rotineiramente nos cursos de engenharia como o teorema da existência e unicidade para resolver EDOs devem ser conhecidos em detalhe.
Já em álgebra linear, um diferencial para o concurso que é negligenciado em vários cursos de engenharia é o conceito de operador linear, que é mais geral que o de matriz e que ajuda a entender várias propriedades de matrizes. É interessante ver como os conceitos usados para matrizes se generalizam em operadores lineares. Além de entender bem conceitos básicos como espaço vetorial, dimensão, produto interno, determinante e autovalores, é importante saber relacionar os autovalores de uma matriz com outros conceitos e propriedades: o traço da matriz, o seu determinante e a sua inversibilidade. Teorema espectral, critérios para determinar se uma matriz é diagonalizável, saber escrever uma matriz complexa em sua forma triangular são ferramentas importantes que podem ajudar na hora da prova. Além de tudo isso, dois conceitos que eles gostam bastante de cobrar e que quase ninguém aprende no curso de álgebra linear da faculdade são o de polinômio mínimo de uma matriz (ou de um operador linear) e o de matrizes nilpotentes e suas propriedades. Vale a pena conhecê-los porque eles já caíram várias vezes.
Quantos aos outros assuntos, vale a pena revisar o que você estudou ao longo dos dois ou três anos de faculdade que você fez e lembrar como resolver os principais problemas, até por que a chance de cair um problema desses assuntos que envolva um conceito ou teorema muito específico é bem baixa e também por que o professor pode lembrar o conceito/teorema para você caso seja necessário.
Como estudar?
Para dominar o conteúdo da prova, é importante levar a sério os cursos da faculdade assim como estudar os conteúdos acima que você não conhece ou não domina usando outras fontes se você não quiser ser surpreendido no dia da prova.
Em análise, o livro do Elon “Curso de análise – Vol 1” (que não é o de capa cinza) é bastante completo e não pressupõe quase nenhum conhecimento prévio. É um livro denso mas se você conseguir lê-lo inteiro fazendo vários exercícios com certeza estará preparado e se sentirá mais seguro quando for resolver o problema de análise real.
Há outras opções bem conhecidas, como o livro “Análise real” do mesmo autor e os livros de cálculo do Guidorizzi e do Apostol. Além disso, faz parte da sua boa vontade procurar outros materiais, que você poderá colocar nessa lista quando você for aprovado. Um exemplo é o livro “Exercícios Resolvidos e Propostos de Sequências e Séries”, do autor Paulo Boulos, que um amigo meu usou e onde ele aprendeu uma técnica que ele usou no problema da prova.
Para álgebra linear, o livro do Elon “Álgebra Linear” também é bastante completo e trata todos os conceitos citados acima. Também recomendo bastante a leitura e a resolução de vários exercícios de cada capítulo. Para os que não conhecem o livro, existe também um livro com as soluções de todos os exercícios, que se chama “Álgebra Linear. Exercícios e Soluções”, do autor Ralph Costa Teixeira. Ao ler o livro, é necessário fazer um esforço extra para reestudar conceitos de álgebra linear aplicados a operadores lineares, mas isso permite um entendimento melhor da matéria e um tratamento diferenciado dos assuntos mais avançados que costumam cair. Considero esse livro de leitura mais fácil que o “Curso de análise – Vol 1”, mas menos fundamental, porque é possível aprender a álgebra linear que cai na prova sem pensar em operadores lineares. Vários alunos do ITA estudaram somente pela apostila do professor Ronaldo Pelá do curso de MAT27, que também é muito boa.
Enfim, por mais que se conheça a teoria e que ela seja fundamental para resolver os problemas, é muito importante resolver exercícios dessas áreas e o principal livro é certamente o “Berkeley Problems in Mathematics”, dos autores Paulo Ney de Souza e Jorge-Nuno Silva. Mais especificamente, os problemas da prova são bem parecidos com os dos capítulos 1 e 7. Vale a pena dar uma olhada nos capítulos de cálculo de mais de uma variável e de equações diferenciais mas só depois de ter estudado os dois primeiros. Ressalto que todos os problemas são bem difíceis e é normal travar logo no primeiro problema do livro. Estranho seria se você conseguisse resolver todos os problemas sozinho. Afinal, no dia da prova você vai contar com a ajuda dos entrevistadores quando você travar. É recomendável ter lido todas as soluções dos problemas desses capítulos antes da prova oral e também é uma boa ideia fazer simulados com amigos ou professores usando esses problemas.
Outra fonte de problemas que pode ajudar são os problemas de olimpíadas de matemática como a OBM (nível universitário) - e a IMC.
Participar da OBM universitária no ano do processo de admissão pode ser uma boa ideia para fazer alguma coisa diferente usando o que você tiver aprendido ao longo de sua preparação.
Dicas importantes
Uma parte importante da prova de matemática é o depois dela. É normal sair dela achando que você foi tão mal que não tem mais chances de ser aprovado. De fato, terminar de resolver os dois problemas com a ajuda dos professores é o objetivo de todos os candidatos, mas certamente não é condição necessária para ser aprovado. Por isso é importante ir para a prova de física com a mesma disposição que você estava antes de começar o dia de provas.
O que estudar?
O tema das questões não costuma variar muito e quase sempre envolve análise real e álgebra linear. Por isso é importante dominar muito bem os fundamentos dessas áreas. Não raramente, caem problemas de equações diferenciais ordinárias/parciais, cálculo vetorial e de mais de uma variável e por isso essas matérias não devem ser negligenciadas na sua preparação.
Os temas de análise real vão desde a definição formal de limite usando épsilons e deltas até o cálculo de integrais, passando por séries e sequências, continuidade, diferenciabilidade, expansões de Taylor, regras de cálculo de derivadas, a definição formal de integral de Riemann e o estudo da convergência de sequências e séries de funções. Diferentemente do que se vê na maioria dos cursos de cálculo do Brasil, é importante ser bastante criterioso ao usar os teoremas e conhecer precisamente as principais definições. Teoremas que aplicamos rotineiramente nos cursos de engenharia como o teorema da existência e unicidade para resolver EDOs devem ser conhecidos em detalhe.
Já em álgebra linear, um diferencial para o concurso que é negligenciado em vários cursos de engenharia é o conceito de operador linear, que é mais geral que o de matriz e que ajuda a entender várias propriedades de matrizes. É interessante ver como os conceitos usados para matrizes se generalizam em operadores lineares. Além de entender bem conceitos básicos como espaço vetorial, dimensão, produto interno, determinante e autovalores, é importante saber relacionar os autovalores de uma matriz com outros conceitos e propriedades: o traço da matriz, o seu determinante e a sua inversibilidade. Teorema espectral, critérios para determinar se uma matriz é diagonalizável, saber escrever uma matriz complexa em sua forma triangular são ferramentas importantes que podem ajudar na hora da prova. Além de tudo isso, dois conceitos que eles gostam bastante de cobrar e que quase ninguém aprende no curso de álgebra linear da faculdade são o de polinômio mínimo de uma matriz (ou de um operador linear) e o de matrizes nilpotentes e suas propriedades. Vale a pena conhecê-los porque eles já caíram várias vezes.
Quantos aos outros assuntos, vale a pena revisar o que você estudou ao longo dos dois ou três anos de faculdade que você fez e lembrar como resolver os principais problemas, até por que a chance de cair um problema desses assuntos que envolva um conceito ou teorema muito específico é bem baixa e também por que o professor pode lembrar o conceito/teorema para você caso seja necessário.
Como estudar?
Para dominar o conteúdo da prova, é importante levar a sério os cursos da faculdade assim como estudar os conteúdos acima que você não conhece ou não domina usando outras fontes se você não quiser ser surpreendido no dia da prova.
Em análise, o livro do Elon “Curso de análise – Vol 1” (que não é o de capa cinza) é bastante completo e não pressupõe quase nenhum conhecimento prévio. É um livro denso mas se você conseguir lê-lo inteiro fazendo vários exercícios com certeza estará preparado e se sentirá mais seguro quando for resolver o problema de análise real.
Há outras opções bem conhecidas, como o livro “Análise real” do mesmo autor e os livros de cálculo do Guidorizzi e do Apostol. Além disso, faz parte da sua boa vontade procurar outros materiais, que você poderá colocar nessa lista quando você for aprovado. Um exemplo é o livro “Exercícios Resolvidos e Propostos de Sequências e Séries”, do autor Paulo Boulos, que um amigo meu usou e onde ele aprendeu uma técnica que ele usou no problema da prova.
Para álgebra linear, o livro do Elon “Álgebra Linear” também é bastante completo e trata todos os conceitos citados acima. Também recomendo bastante a leitura e a resolução de vários exercícios de cada capítulo. Para os que não conhecem o livro, existe também um livro com as soluções de todos os exercícios, que se chama “Álgebra Linear. Exercícios e Soluções”, do autor Ralph Costa Teixeira. Ao ler o livro, é necessário fazer um esforço extra para reestudar conceitos de álgebra linear aplicados a operadores lineares, mas isso permite um entendimento melhor da matéria e um tratamento diferenciado dos assuntos mais avançados que costumam cair. Considero esse livro de leitura mais fácil que o “Curso de análise – Vol 1”, mas menos fundamental, porque é possível aprender a álgebra linear que cai na prova sem pensar em operadores lineares. Vários alunos do ITA estudaram somente pela apostila do professor Ronaldo Pelá do curso de MAT27, que também é muito boa.
Enfim, por mais que se conheça a teoria e que ela seja fundamental para resolver os problemas, é muito importante resolver exercícios dessas áreas e o principal livro é certamente o “Berkeley Problems in Mathematics”, dos autores Paulo Ney de Souza e Jorge-Nuno Silva. Mais especificamente, os problemas da prova são bem parecidos com os dos capítulos 1 e 7. Vale a pena dar uma olhada nos capítulos de cálculo de mais de uma variável e de equações diferenciais mas só depois de ter estudado os dois primeiros. Ressalto que todos os problemas são bem difíceis e é normal travar logo no primeiro problema do livro. Estranho seria se você conseguisse resolver todos os problemas sozinho. Afinal, no dia da prova você vai contar com a ajuda dos entrevistadores quando você travar. É recomendável ter lido todas as soluções dos problemas desses capítulos antes da prova oral e também é uma boa ideia fazer simulados com amigos ou professores usando esses problemas.
Outra fonte de problemas que pode ajudar são os problemas de olimpíadas de matemática como a OBM (nível universitário) - e a IMC.
Participar da OBM universitária no ano do processo de admissão pode ser uma boa ideia para fazer alguma coisa diferente usando o que você tiver aprendido ao longo de sua preparação.
Dicas importantes
- Aprenda a explicar tudo o que você estudar em inglês e a resolver problemas em inglês, particularmente o vocabulário matemático. De qualquer forma, isso só serve para que você não fique nervoso na hora de resolver o problema: o nível de inglês exigido é baixo e basta conseguir se comunicar com o entrevistador e dizer as suas ideias. O mesmo vale se você decidir fazer a sua prova em francês, lembrando que nenhuma língua é melhor do que a outra, o importante é você se sentir confiante;
- Assim como qualquer entrevista importante, é fundamental fazer um ou mais simulados. Faltando um mês para a prova, junte-se com amigos que também estiverem fazendo o concurso ou peça ajuda para um professor e procure reproduzir uma ou mais entrevistas nos moldes da prova real. Veja quais são as principais dificuldades e procure avaliar a clareza de suas explicações e descobrir as matérias que você terá que reforçar para o dia da prova;
- Saiba que aprender tudo o que eu disse exige bastante dedicação e que você gastará pelo menos três meses intensos para isso. Se você realmente não puder dedicar esse tempo, isso não significa que você não vai conseguir passar. Na verdade, eu acredito que cumprindo metade das orientações que eu passei e tendo um currículo bom, você ainda tem chances bem altas de ser aprovado;
- Além disso, se você quiser nossa ajuda para se preparar, nos mande um e-mail ou envie uma mensagem no nosso formulário de contato, que compartilharemos com você um banco de dados com vários materiais diferentes para se preparar para a prova.
por Henrique Fiuza - X2014
